Кинематика станков.

   Здесь я набросал формулы кинематических схем различных станков. Просто пишу формулы уже в конечном виде, так как мне честно откровенно было лень набирать это в MathCad, показывать их матричный вывод. Все формулы я выводил на бумаге, карандашом. Для Тех, кому это интересно - вспомните элементарные знания по линейной алгебре и аналитической геометрии, или на худой конец - по компьютерной графике.

   Могу порекомендовать книгу "Introduction to Robotics, Mechanics and Control" John Craig
 - её используют те, кто делает ISV, ну и естественно, поиск на Яндексе и Гугле. 

  Среди наших советских (русских) специалистов обратите внимание на книги :

С.Л. Зенкевич, А.С.Ющенко. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами.

  Шахинпур М. Курс робототехники.
  На основе выведенных формул, я создал проекты:
  Первый проект - автономный KinematicsMachines.zip , для исследования УП:
  • - программа расчета i,j,k<->A,B,C для разных кинематических схем чпу (Cbuilder 6.).
    - для исследования многокоординатных управляющих программ для оптимального расчета углов и положения инструмента. 
    - для установки векторов подхода-отхода и начального положения инструмента в операциях.
     Сделана в свободное время. Для себя.
    Основа: KinematicsMachines_utils.cpp

 второй - являющейся частью Юниграфики (эту программу вы найдете на другом ресурсе),для установки векторов подхода-отхода инструмента в операциях обработки.

  Возможность установки векторов в UniGraphics, для получения нужных углов, имеется и в Vericut-е. Пример>>.
   Еще можете ознакомиться с двумя примерами:
Схемы и формулы.
№№ Схема Станок/
Оборудование		  Формулы Прямого преобразования  Формулы Обратного преобразования
1.

MA-655C5
ФП-14В7,
FSQV-80
  i=cos(A)sin(B),
  j=–sin(A),
  k=cos(A)cos(B).
 		  
  A=–arcsin(j),
  B=arctg(i/k).

 преобразование однозначно (единственно, из-за ограничений накладываемых на узлы перемещений)
2.  стол (ось B),
 ось Z - ось инструмента.		 AGP-800-630
  i=sin(B),
  j=0,
  k=cos(B).
 		 B0=arctg(i/k)
 
 i≥0 k>0 => B=B0
 i≥0 k≤0 => B=B0+π
 i<0 k<0 => B=B0+π
 i<0 k≥0 => B=B0+2π

Дополнительный угол:
BД=(–1)*sign(B)*(2π–|B|)
 
3.  стол (оси B и C) DMU-35M

оси B и C - ручные!!
  i=sin(B)cos(C),
  j=sin(B)sin(C),
  k=cos(B).
 		 (B1,C1) (B2,C2)
B1=arccos(k),
C0=arctg(i/j)
 i>0 j>0 => C1=C0
 i≤0 j≥0 => C1=C0+π
 i<0 j<0 => C1=C0+π
 i≥0 j≤0 => C1=C0+2π

B2=–B1=–arccos(k)
C2=C1+π
4.   ВФ-5ВС  ???
  i=sin(B),
  j=–sin(A)cos(B),
  k=cos(A)cos(B).
 		  
5.

Variaxis-630 5x

 Hermle C600U
 


  i=sin(A)sin(C),
  j=–sin(A)cos(C),
  k=cos(A).
 

 (A1,C1) (A2,C2)

A1=arccos(k)≥0,
C0=arctg(–i/j)=–arctg(i/j)

 i≥0 j≤0 => C1=C0
 i≥0 j>0 => C1=C0+π
 i<0 j>0 => C1=C0+π
 i<0 j≤0 => C1=C0+2π

A2=–arccos(k)
C2=C1+π
6.

DMU-125PA
  i=sin(A)sin(C),
  j=–sin(A)cos(C),
  k=cos(A).
 		  см. Variaxis-630 5x
7.

Mag 3.Ex
  i=sin(A)sin(C),
  j=–sin(A)cos(C),
  k=cos(A).
 		  обратный расчет - чуточку иной, чем  Variaxis-630 5x
8.

NC-1325IP
  i=sin(B)cos(C),
  j=sin(B)sin(C),
  k=cos(B).
 		  см. DMU-35M
9. ВФТ-5
  i=sin(A)sin(C),
  j=–sin(A)cos(C),
  k=cos(A).
 		 (A1,C1) (A2,C2)

A1=arccos(k),
C0=arctg(–i/j)=–arctg(i/j)

 i≤0 j>0 => C1=C0
 i≤0 j≤0 => C1=C0+π
 i>0 j<0 => C1=C0+π
 i>0 j≥0 => C1=C0+2π

A2=–A1
C2=C1+π

похоже на сх. Variaxis-630 5x
10.

РФП-6К
  i=–sin(A)sin(C),
  j=sin(A)cos(C),
  k=cos(A).
 		 (A1,C1) (A2,C2)

A1=arccos(k),
C0=arctg(–i/j)=–arctg(i/j)

 n=1,2 => C1=C0+π
 n=4 => C1=C0
 n=3 => C1=C0+2π
 

A2=–A1
C2=C1+π
11.  B - голова ,

 С - стол

 СКФ5-300
  i=sin(B)cos(C),
  j=–sin(B)sin(C),
  k=cos(B).
 		 (B1,C1) (B2,C2)

B1=arccos(k),
C0=arctg(–i/j)=–arctg(i/j)

 n=2,3 => C1=C0+π
 n=4 => C1=C0
 n=1 => C1=C0+2π
 

B2=–B1
C2=C1+π
12.

V-Star,
ВФ-5ВС 
  i=sin(B)cos(C),
  j=sin(B)sin(C),
  k=cos(B).
 		  ну практически тоже самое , что и см. DMU-35M
13.


Primery Axis - B Axis
# This is the Head with the rotary Axis inclined at approximately 45deg to the Z ot Y axis of MCS
#
# Secondary Axis - C Axis
# This is the Table of the machine

 DMU-50eV  
  k=(1+cos(B))/2,
  j=cos(B)cos(C) - cos(C)(1+cos(B))/2 + sin(C)cos(45°)sin(B),
  i=cos(C)cos(45°)sin(B)-cos(B)sin(C) + sin(C)(1+cos(B))/2,
 		 B1=arccos(2k–1)

повернем плоскость для разрешения:
p1=(–i)(k-1)+j*p0
p2=(–j)(k-1)-i*p0
где p0=sin(B1)cos(45°)
C0=arctg(p2/p1)
 p1≥0   p2≤0   =>  C1=C0+ π/2
 p1>0   p2>0   =>  C1=C0+π/2
 p1≤0   p2≥0   =>  C1=C0+3π/2
 p1<0   p2<0   => C1=C0 + 3π/2

B2=B1
C2=C1–2π
14.  B - голова ,

 С - стол

  DMU-125PB,
DMU-200PB,
DMU-80PduoBLOCK
  k=(1+cos(B))/2,
  j= -cos(B)cos(C) + cos(C)(1+cos(B))/2 + sin(C)cos(45°)sin(B),
  i=cos(C)cos(45°)sin(B)+cos(B)cos(C) - sin(C)(1+cos(B))/2,
 		 B1=arccos(2k-1)

 аналогично, повернем плоскость:
p1=(+i)(k–1)+j*p0
p2=(+j)(k–1)-i*p0
где p0=sin(B1)cos(45°)
C0=arctg(p2/p1)
 p1≥0   p2≤0   =>  C1=C0+ π/2
 p1>0   p2>0   =>  C1=C0+π/2
 p1≤0   p2≥0   => C1=C0+3π/2
 p1<0   p2<0   => C1=C0 + 3π/2

B2=B1
C2=C1–2π
15.


Из книги "Проектирование постпроцессоров"

 ФП-11,
ФП-4,
ФП-6,
  i=sin(B)cos(C),
  j=sin(B)sin(C),
  k=cos(B).
 		 ??????????????????????

ψ=arccos(2k–1),
δ=arccos( sqrt((1-k)/(1+k)) ),
γ= arctg(i/j) , n=1,

C1=γ–δ  , B1=ψ
C2=γ+δ  , B2=-ψ
........
16.     голова (оси B и C) FS10.000  
  i=sin(B)cos(C),
  j=sin(B)sin(C),
  k=cos(B).
  Homework for You 
17. KX100
  i=sin(B)cos(C),
  j=sin(B)sin(C),
  k=cos(B).
  Homework for You 
18. Modumill 300T
  i=sin(B)cos(C),
  j=sin(B)sin(C),
  k=cos(B).
 		  Homework for You 
20.     голова (оси  A и C)  Endura 900LB
Endura 10LB		  
  i=sin(A)sin(C),
  j=–sin(A)cos(C),
  k=cos(A).
  Homework for You 
21.    B - голова ,

   С - стол

 DMU-40monoBLOCK
DMU-80monoBLOCK
  i=sin(B)cos(C),
  j=sin(B)sin(C),
  k=cos(B).
  		  Homework for You 
22.  A - голова DMU 360L  
  i=0,
  j=–sin(A),
  k=cos(A).
 Homework for You 
23.  B - голова 
  i=sin(B),
  j=0,
  k=cos(B).
 Homework for You 
 

 Давайте я быстро покажу как получить вектора {i,j,k}.

 Как вы знаете из курса аналитической геометрии, для поворота системы координат существуют матрицы поворота:

  

 Пусть нам дан единичный вектор (вектор инструмента):

 

 I. Рассмотрим для начала упрощенную схему станка:

 

 Повернем систему координат вокруг оси OY на угол B, а затем вокруг оси OZ на угол C

 Тогда последовательность матриц поворота будет иметь следующий вид:


 Здесь для наглядности и упрощения рисования я наклонил вектор R0. Но, Вы должны помнить. Вектор R0 - неподвижен! Мы вращаем систему координат, вместе со станком (вращаем сковороду)!

 II.Усложним схему станка и наклоним ось OY на некоторый угол α.

 Составим матрицу поворота. 

Так как наряду с вращением относительно осей абсолютной системы координат OXYZ подвижная система отсчёта OUVW может совершать поворот вокруг собственных осей. В этом случае результирующая матрица поворота может быть получена с использованием следующих правил:

1. Вначале обе системы координат совпадают, и, следовательно, матрица поворота представляет собой единичную матрицу размерностью 3x3.

2. Если подвижная система координат OUVW совершает поворот вокруг одной из основных осей системы OXYZ, матрицу предыдущего результирующего поворота надо умножить слева на соответствующую матрицу элементарного поворота.

3. Если подвижная система координат OUVW совершает поворот вокруг одной из своих основных осей, матрицу предыдущего результирующего поворота надо умножить справа на соответствующую матрицу элементарного поворота.

 1. имеем первоначальную матрицу поворота I - единичная (3x3).
  
 2. Rx(α) - совершаем поворот на угол α относительно OX
 3. Rу(B) - совершаем поворот на угол B относительно OY
 4. Rx(-α) - проводим обратную операцию

 5. Rz(C) - поворачиваем ось OZ на угол C.

 Окончательно, получим:   R=Rz(C)·Rx(-α)·Rу(B)·Rx(α)·I

 При α=45 º - мы получаем стандартную схему DMU-50eV:

 III.Еще раз усложним схему. Введем по мимо угла α в плоскости OYZ, еще угол b в плоскости OXY.

  

  1. имеем первоначальную матрицу поворота I - единичная (3x3).
  
 2. Rx(b) - совершаем поворот на угол b относительно OZ
 3. Rу(α) - совершаем поворот на угол α относительно OX
 4. Rу(B) - совершаем поворот на угол B относительно OY
 5. Rx(-α) - проводим обратную операцию
 6. Rx(-b) - проводим обратную операцию

 7. Rz(C) - поворачиваем ось OZ на угол C.

 Окончательно, получим:  
    R=Rz(C)·Rz(-b)·Rx(-α)·Rу(B)·Rx(α)·Rz(b)·I 

  Как частный случай, для DMU-70eV при α=38 º и  b=38.621 º  получим:

  

 Пример расчета в MathCad'е:  Kin_matr.mcd
 
24. DMU-70eV

 см выше. 

 Homework for You,
for example:
Dmu70eV_rivert3.png
Dmu70eV_rivert.mcd
26.        
27.        
28.        
29.        
30.        
31.        
32.        
33.        
34.        
35.        
36.        
         

 

Copyright © 2001—2009 че